Teorema Dasar Kalkulus

$Admin$

Teorema :

Jika f kontinyu pada [a, b] dan F anti turunan f pada [a, b] maka $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = F(b) – F(a)

Bukti :

Akan ditunjukkan $\lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n}f(\hat{x_{k}})\bigtriangleup x_{k}$ = F(b) – F(a)

Diambil P, n-partisi pada [a, b], yaitu :

a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_k-1 < x_k < … < x_n-1 < x_n = b

Perhatikan :

F(b) – F(a) = F(x_n) – F(x₀)

= $\sum_{k=1}^{n}$ [F(x_k) – F(x_k-1)]

Mengingat f kontinyu pada [a, b], maka F juga kontinyu pada interval tersebut sebab F antiturunan f. Berarti F kontinyu pada tiap sub interval [x_k-1, x_k] , k = 1, 2, .., n. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan, maka terdapat titik $\hat{x_{k}} \quad \epsilon$ (x_k-1 ,x_k) sedemikian sehingga.

$F'(\hat{x_{k}})$ = $\frac{F(x_{k})-F(x_{k-1})}{x_{k}-x_{k-1}}$

$\Leftrightarrow$ F(x_k) – F(x_k-1) = F'( $\hat{x_k}$ )(x_k – x_k-1)

$\Leftrightarrow$ F(x_k) – F(x_k-1) = f( $\hat{x_k}$ ) $\bigtriangleup$ x_k

Jadi diperoleh :

F(b)-F(a) = $\sum_{k=1}^{n}$ [F(x_k) – F(x_k-1)]

= $\sum_{k=1}^{n}$ f( $\hat{x_k}$ ) $\bigtriangleup$ x_k

dan bila kedua ruas diambil $\left \| P \right \|\rightarrow 0$ maka :

$\lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n}$ [F(b) – F(a)] = $\lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n}$ f( $\hat{x_k}$ ) $\bigtriangleup$ x_k

F(b) – F(a) = $\lim_{\left \| p \right \|\to 0} \sum_{k=1}^{n}$ f( $\hat{x_k}$ ) $\bigtriangleup$ x_k $\blacksquare$

Dengan Teorema Dasar Kalkulus untuk integral tersebut, maka perhitungan integral untuk fungsi-fungsi kontinyu, tidak lagi serumit perhitungan integral menggunakan Jumlah Rienmann dan semua hasil perhitungan integral tertentu dapat dimanfaatkan.

Fungsi-fungsi yang memenuhi Teorema Dasar Kalkulus tersebut kadang disebut juga fungsi terintegral Newton.

Akibat
Teorema Dasar Kalkulus :